Euclides y otras

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¿En qué contradicen a Euclides las geometrías modernas o no euclidianas? 

ChatGPT

Las geometrías no euclidianas contradicen algunos de los postulados de Euclides, que eran los principios fundamentales en los que se basaba la geometría euclidiana clásica. Euclides, un antiguo matemático griego, formuló estos postulados en su obra "Elementos". Los postulados de Euclides son:

1. Postulado de la recta: Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta.

2. Postulado del segmento: Un segmento de recta puede ser prolongado indefinidamente en línea recta.

3. Postulado del círculo: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

4. Postulado de la línea y el punto: Dada una línea y un punto exterior a ella, existe exactamente una línea paralela que pasa por el punto exterior.

Las geometrías no euclidianas, como la geometría hiperbólica y la geometría elíptica, desafían estos postulados. Dos de las más conocidas son:

1. Geometría hiperbólica: En la geometría hiperbólica, el postulado de la línea y el punto no se cumple. En esta geometría, dada una línea y un punto exterior a ella existen infinitas líneas paralelas que pasan por el punto exterior. Además, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor que 180 grados.

2. Geometría elíptica: En la geometría elíptica, el postulado del círculo no se cumple. No hay líneas paralelas en la geometría elíptica, y la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180 grados.

Estas geometrías no euclidianas fueron desarrolladas en el siglo XIX por matemáticos como Nikolai Lobachevsky y János Bolyai. La introducción de estas geometrías no euclidianas mostró que los postulados euclidianos no eran la única base posible para la geometría y que era posible desarrollar sistemas geométricos consistentes y no contradictorios con postulados diferentes. Esto tuvo profundas implicaciones para la comprensión de la naturaleza de la geometría y la relación entre la geometría y la realidad física.

 

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Formula el quinto postulado de Euclides

ChatGPT

El quinto postulado de Euclides, también conocido como el "postulado de las paralelas", establece:

"Dada una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta paralela a la dada que pasa por el punto exterior."

Este postulado es el que distingue la geometría euclidiana de las geometrías no euclidianas. En las geometrías no euclidianas, se consideran sistemas en los cuales este postulado no se cumple, lo que lleva a resultados geométricos diferentes y a conceptos alternativos de paralelismo.

 

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Observo que las geometrías no euclidianas se basan en un error de Euclides y que, dichas geometrías, ignoran ese error. ¿Quieres saber a qué me estoy refiriendo?

ChatGPT

Sí, me gustaría saber más sobre tu observación. ¿A qué error de Euclides te refieres y cómo crees que las geometrías no euclidianas lo abordan?

 

You

En el "quinto postulado" se omite una condición sine qua non para definir una paralela, sea consigo misma o con otra recta, que es la de equidistancia de todos los puntos entre las rectas paralelas.

ChatGPT

Entiendo tu perspectiva. Lo que mencionas es la idea de que, en la geometría euclidiana, se asume que las rectas paralelas son equidistantes entre sí a lo largo de toda su longitud. Es decir, las rectas paralelas no convergen ni se separan a medida que se extienden en el espacio.

En la geometría euclidiana clásica, este concepto de equidistancia es implícito en el quinto postulado de Euclides. Sin embargo, en las geometrías no euclidianas, el quinto postulado es rechazado o modificado, lo que da lugar a situaciones en las que las rectas paralelas pueden no ser equidistantes.

En la geometría hiperbólica, por ejemplo, se modifica el quinto postulado para permitir la existencia de infinitas rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada. Esto conduce a situaciones donde las rectas paralelas en la geometría hiperbólica no son equidistantes.

En la geometría elíptica, por otro lado, no hay rectas paralelas en el sentido euclidiano, y todas las líneas convergen en el espacio. Nuevamente, esto conduce a una falta de equidistancia entre las llamadas "líneas paralelas".

Así que, en efecto, las geometrías no euclidianas cambian la noción de paralelismo y la relación de equidistancia que estaba implícita en el quinto postulado de Euclides, dando lugar a estructuras geométricas diferentes.

 

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La omisión conceptual no constituye un mérito, sino un déficit en el razonamiento.

ChatGPT

Tu perspectiva destaca un punto importante. Las geometrías no euclidianas no abordan simplemente un "error" en el quinto postulado de Euclides, sino que reformulan la idea misma de paralelismo. Al cambiar o rechazar el quinto postulado, estas geometrías exploran estructuras geométricas diferentes y, de hecho, ofrecen alternativas consistentes y no contradictorias a la geometría euclidiana.

Desde una perspectiva matemática, no se trata tanto de un déficit en el razonamiento como de una exploración de los fundamentos de la geometría. El desarrollo de las geometrías no euclidianas fue un hito importante en la historia de la matemática y la filosofía, ya que cuestionó la idea de que solo había una forma "correcta" de geometría. Mostró que, cambiando ciertos axiomas, se podrían construir sistemas lógicos y coherentes con resultados geométricos válidos.

Es importante reconocer que lo que se considera un "error" o un "déficit" puede depender de la perspectiva y del marco conceptual en el que se esté trabajando. En este caso, las geometrías no euclidianas no omiten conceptos, sino que ofrecen una perspectiva diferente y válida sobre la naturaleza del espacio y la geometría.

 

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De acuerdo con lo que expones, entonces no se debería decir que se cuestiona el quinto postulado de Euclides, sino que se constituye una geometría basada en diferentes principios.

ChatGPT

Tienes razón en señalar eso. La expresión "cuestionar el quinto postulado de Euclides" es una forma común de referirse al desarrollo de las geometrías no euclidianas, pero puede dar la impresión de que se trata simplemente de poner en duda o refutar un postulado existente. En realidad, lo que sucede es que se proponen principios geométricos alternativos que llevan a sistemas consistentes y no contradictorios, pero que difieren de la geometría euclidiana.

Podemos entenderlo mejor como una exploración y expansión de los principios fundamentales en los que se basa la geometría. Las geometrías no euclidianas se construyen sobre axiomas diferentes o modificados, y no necesariamente implican un "error" en los postulados euclidianos, sino más bien una elección consciente de principios geométricos distintos.

Entonces, podríamos decir que se desarrollan geometrías basadas en principios diferentes, y no simplemente se cuestiona el quinto postulado de Euclides en sí mismo. Gracias por señalar esta distinción importante.